Leçon 412 — Courbes paramétrées dans $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. Courbure, torsion.

Points clés

Courbe paramétrée régulière. Abscisse curviligne et repère de Frenet. Courbure d'une courbe plane et spatiale. Torsion d'une courbe de l'espace. Formules de Frenet-Serret

Plan

Courbes paramétrées : rappels (Arc paramétré [formule] de classe [formule], Point régulier ([formule]), point birégulier ([formule] et [formule] non colinéaires en dim [formule]), Paramétrage par l'abscisse curviligne : [formule]) — Repère de Frenet dans le plan (Vecteur tangent [formule] et vecteur normal [formule] (rotation [formule]), Courbure signée : [formule], Formules de Frenet en dimension [formule] : [formule], [formule]) — Repère de Frenet dans [formule] (Vecteur tangent [formule], vecteur normal principal [formule], vecteur binormal [formule], Courbure : [formule], Torsion : [formule]) — Formules de Frenet-Serret (Système : [formule], [formule], [formule], Écriture matricielle antisymétrique, Interprétation géométrique : [formule] mesure la déviation du plan osculateur, [formule] mesure la torsion hors du plan) — Formules en paramétrage quelconque (Courbure dans [formule] : [formule], Courbure dans [formule] : [formule], Torsion : [formule]) — Théorème fondamental des courbes (Énoncé : [formule] et [formule] déterminent la courbe à déplacement rigide près, Courbes planes : [formule] caractérise les courbes contenues dans un plan, Hélice circulaire : [formule] et [formule] constants)