Ensembles convexes : définition et exemples. Enveloppe convexe et points extrémaux. Projection sur un convexe fermé. Théorèmes de séparation par un hyperplan. Applications en optimisation
Ensembles convexes (Définition : [formule] convexe si [formule], Exemples : boules, demi-espaces, polyèdres, épigraphes de fonctions convexes, Opérations : intersection, somme de Minkowski, image par application linéaire) — Enveloppe convexe (Définition : plus petit convexe contenant un ensemble [formule], Théorème de Carathéodory : dans [formule], tout point de [formule] est barycentre de [formule] points de [formule], Points extrémaux : [formule] est extrémal s'il n'est milieu d'aucun segment inclus dans [formule]) — Projection sur un convexe fermé (Théorème de projection : pour tout [formule] et tout convexe fermé non vide [formule], il existe un unique [formule] minimisant [formule], Caractérisation : [formule] ssi [formule] pour tout [formule], Le projecteur [formule] est [formule]-lipschitzien) — Théorèmes de séparation (Hyperplan séparant : [formule] et [formule] sont séparés par [formule] si [formule] et [formule], Théorème de séparation faible : deux convexes disjoints dont l'un est [[compact|compact]] peuvent être strictement séparés, Théorème de Hahn-[[espace-complet|Banach]] géométrique : un convexe fermé et un point extérieur sont strictement séparés par un hyperplan) — Théorème de Krein-Milman (Énoncé : tout convexe [[compact|compact]] non vide est l'enveloppe convexe fermée de ses points extrémaux, Application : la boule unité de [formule] (norme euclidienne) a pour points extrémaux la sphère, Application : description des matrices bistochastiques (théorème de Birkhoff)) — Applications (Programmation linéaire : l'optimum est atteint en un sommet du polyèdre, Inégalité de Jensen pour les fonctions convexes, Dualité en optimisation convexe)