Filtration et temps d'arrêt. Définition de martingale, sous- et sur-martingale. Théorème d'arrêt de Doob. Inégalité maximale de Doob. Théorème de convergence des martingales
Filtrations et espérance conditionnelle (Filtration [formule] : [[suite-monotone|suite croissante]] de tribus, [[esperance|Espérance]] conditionnelle [formule] : propriétés (linéarité, tour, monotonie), Processus adapté : [formule] est [formule]-mesurable pour tout [formule]) — Martingales : définition et premiers exemples (Martingale : [formule] p.s., Sous-martingale ([formule]) et sur-martingale ([formule]), Exemples : [formule] (marche aléatoire centrée), [formule]) — Temps d'arrêt et théorème d'arrêt (Temps d'arrêt [formule] : [formule] pour tout [formule], Théorème d'arrêt de Doob : si [formule] est borné, [formule], Version avec [formule] p.s. fini et intégrabilité uniforme) — Inégalités maximales (Inégalité maximale de Doob : [formule] (sous-martingale), Inégalité [formule] de Doob : [formule] pour [formule]) — Théorème de convergence (Théorème de convergence de Doob : une martingale bornée dans [formule] converge p.s. et dans [formule], Théorème de convergence des sous-martingales : si [formule], alors [formule] converge p.s., Martingale régulière et convergence dans [formule]) — Applications (Problème de la ruine du joueur : [[espace-probabilise|probabilité]] de ruine par le théorème d'arrêt, Exponentielle stochastique de Doléans (cas discret) : [formule]. En temps continu pour les martingales continues : [formule], Loi du zéro-un de Kolmogorov comme conséquence de la convergence des martingales)