Fonction génératrice des probabilités. Fonction génératrice des moments. Fonction caractéristique. Caractérisation de la loi par la fonction génératrice. Applications au calcul de lois de sommes
Fonction génératrice des probabilités (Définition pour [formule] à valeurs dans [formule] : [formule], [[serie-entiere|Rayon de convergence]] [formule] et [formule], Extraction des probabilités : [formule]) — Propriétés des fonctions génératrices (Calcul des moments : [formule], [formule], Produit pour des v.a. indépendantes : [formule], Caractérisation : la f.g.p. détermine la loi de [formule]) — Fonction génératrice des moments (Définition : [formule] définie sur un intervalle contenant [formule], Calcul des moments : [formule], Avantage : s'applique aux v.a. continues ; inconvénient : n'existe pas toujours) — Fonction caractéristique (Définition : [formule], définie pour tout [formule], Propriétés : [formule], [formule], [formule], Caractérisation de la loi : la fonction caractéristique détermine la loi (injectivité)) — Théorème de continuité de Lévy (Énoncé : [formule] ssi [formule] pour tout [formule], Application à la démonstration du [[tcl|TCL]], Formule d'inversion de Fourier pour les densités) — Applications (Calcul de la f.g.p. des lois classiques : [[loi-poisson|Poisson]], [[loi-binomiale|binomiale]], géométrique, Fonction caractéristique de la loi normale : [formule], Utilisation pour prouver la stabilité des familles de lois par convolution)