Théorème de [[thm-suites-monotones-bornees|convergence monotone]] (Beppo Levi) : pour les suites croissantes de fonctions positives. Lemme de Fatou : inégalité pour les limites inférieures. [[convergence-dominee|Théorème de convergence dominée]] de [[convergence-dominee|Lebesgue]]. Applications : interversion somme-intégrale, limite-intégrale. [[fonction-continue|Continuité]] et dérivation sous le signe intégral comme corollaires. Applications au calcul d'intégrales et de séries. Lien avec les modes de convergence en probabilités
Théorème de convergence monotone (Énoncé : si [formule] p.p., alors [formule], Démonstration (idée), Application : interversion [formule] et [formule] pour des fonctions positives) — Lemme de Fatou (Énoncé : [formule] pour [formule], Démonstration à partir de la [[thm-suites-monotones-bornees|convergence monotone]], Exemples montrant que l'inégalité peut être stricte) — Théorème de convergence dominée (Énoncé : si [formule] p.p. et [formule], alors [formule], Démonstration via Fatou, Importance de la fonction de domination) — Corollaires : continuité et dérivation sous [formule] ([[fonction-continue|Continuité]] de [formule] par [[convergence-dominee|convergence dominée]], Dérivation : [formule] (théorème de [[series-alternees|Leibniz]]), Holomorphie sous le signe intégral) — Interversion somme-intégrale (Cas positif : toujours vrai ([[thm-suites-monotones-bornees|convergence monotone]]), Cas général : [[convergence-dominee|convergence dominée]] ou convergence normale, Application : calcul de [formule] par développement en série) — Applications variées (Calcul de [formule], [[derivee|Dérivée]] de la fonction Gamma : [formule], Lemme de Fatou en probabilités et [[esperance|espérance]])