Fonctions convexes : caractérisations ([formule], épigraphe convexe, inégalité des cordes). Inégalité de Jensen : [formule]. Inégalités de Young, Hölder et Minkowski. Ensembles convexes : séparation par un hyperplan (Hahn-[[espace-complet|Banach]] géométrique). Convexité et optimisation : tout minimum local est global. Dualité convexe et transformée de Legendre-Fenchel. Applications en analyse fonctionnelle et en probabilités
Fonctions convexes sur [formule] (Définition : [formule], Caractérisations : pentes croissantes, [formule] si [formule], [[fonction-continue|Continuité]] et [[derivee|dérivabilité]] des fonctions convexes) — Inégalités fondamentales (Inégalité de Jensen (version finie et intégrale), Inégalité arithmético-géométrique comme conséquence, Inégalité de Young : [formule] pour [formule]) — Inégalités de Hölder et Minkowski (Hölder : [formule] déduit de Young, Minkowski : [formule] (inégalité triangulaire dans [formule]), Cas d'égalité) — Ensembles convexes et séparation (Ensembles convexes dans [formule], Théorème de séparation de Hahn-[[espace-complet|Banach]] géométrique, Projection sur un convexe fermé dans un Hilbert) — Convexité et optimisation (Pour une fonction convexe, tout minimum local est global, Fonction strictement convexe : unicité du minimum, Sous-différentiel d'une fonction convexe) — Applications (Méthode de Monte-Carlo et bornes par Jensen, Inégalité isopérimétrique (lien avec la convexité), Entropie et information de Fisher comme fonctions convexes)