Leçon 241 — Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.

Points clés

Convergence simple vs [[convergence-uniforme|convergence uniforme]]. Théorème de la double limite : limite uniforme de fonctions continues est continue. Intégration terme à terme ([[convergence-uniforme|convergence uniforme]] sur un segment). Dérivation terme à terme ([[convergence-uniforme|convergence uniforme]] de la série des dérivées). Théorème de Dini : [[thm-suites-monotones-bornees|convergence monotone]] = uniforme sur un [[compact|compact]]. Convergence normale des séries de fonctions. Contre-exemples fondamentaux

Plan

Modes de convergence (Convergence simple : [formule] pour tout [formule], [[convergence-uniforme|Convergence uniforme]] : [formule], Convergence normale pour les séries : [formule]) — Continuité de la limite (Si [formule] continues et [formule] [[convergence-uniforme|uniformément]], alors [formule] est continue, Contre-exemple sans uniformité : [formule] sur [formule], Théorème de Dini : si [formule] continues sur [formule] [[compact|compact]], [formule] continue, alors [[convergence-uniforme|convergence uniforme]]) — Intégration et convergence (Si [formule] [[convergence-uniforme|uniformément]] sur [formule], alors [formule], Convergence normale et intégration terme à terme des séries, Contre-exemple : convergence simple qui ne permet pas l'interversion) — Dérivation et convergence (Théorème : si [formule] simplement, [formule] [[convergence-uniforme|uniformément]], alors [formule], Application aux séries de fonctions, Contre-exemple : [[convergence-uniforme|convergence uniforme]] de [formule] n'implique pas convergence de [formule]) — Contre-exemples fondamentaux ([formule] sur [formule] : convergence simple mais pas uniforme, [formule] : [formule] (convergence simple sans domination), [[convergence-uniforme|Convergence uniforme]] de [formule] n'implique pas convergence de [formule] sur un intervalle non borné) — Applications (Fonctions définies par des séries entières, Approximation de Weierstrass comme [[convergence-uniforme|convergence uniforme]], Fonction [formule] de Riemann : [formule] pour [formule])