[[fonction-continue|Continuité]] sous le signe intégral. Dérivation sous le signe intégral (théorème de [[series-alternees|Leibniz]]). Limite et intégrale : [[convergence-dominee|théorème de convergence dominée]] comme outil fondamental. Holomorphie sous le signe intégral. Application aux fonctions définies par des intégrales (Gamma, Fourier, Laplace). Régularité des convolutions
Cadre et hypothèses (Fonction [formule], Hypothèse de domination : [formule] avec [formule], Rôle central du [[convergence-dominee|théorème de convergence dominée]]) — Continuité sous le signe intégral (Théorème : si [formule] est continue et [formule], alors [formule] est continue, Application : [[fonction-continue|continuité]] de la transformée de Fourier sur [formule], [[fonction-continue|Continuité]] de la convolution) — Dérivation sous le signe intégral (Théorème de [[series-alternees|Leibniz]] : si [formule] existe, est continue en [formule] et dominée par [formule], alors [formule], Hypothèse de domination locale suffit, Itération : dérivées d'ordre supérieur) — Limite sous le signe intégral (Application directe du [[convergence-dominee|théorème de convergence dominée]], Interversion limite-intégrale, Cas de la [[thm-suites-monotones-bornees|convergence monotone]]) — Holomorphie sous le signe intégral (Si [formule] est holomorphe et dominée, alors [formule] est holomorphe, Application : la fonction [formule] est holomorphe sur [formule], Prolongement analytique via intégrales) — Applications (Fonction Gamma : [formule], classe [formule] et prolongement, Transformée de Fourier : régularité liée à la décroissance, Calcul de [formule] par intégrale paramétrique)