Construction de l'intégrale de [[convergence-dominee|Lebesgue]] : fonctions étagées, positives, intégrables. Espaces [formule] : définition, normes, [[espace-complet|complétude]] (Riesz-Fischer). [[convergence-dominee|Théorème de convergence dominée]] de [[convergence-dominee|Lebesgue]]. Théorème de [[thm-suites-monotones-bornees|convergence monotone]] (Beppo Levi). [[fubini|Théorème de Fubini]]-Tonelli. Comparaison intégrales de Riemann et [[convergence-dominee|Lebesgue]]. Dualité : [formule] pour [formule]
Construction de l'intégrale de Lebesgue (Mesure, tribu, espace mesuré, Fonctions mesurables et fonctions étagées, Intégrale des fonctions étagées positives, puis des fonctions positives, puis intégrables) — Théorèmes de convergence ([[thm-suites-monotones-bornees|Convergence monotone]] (Beppo Levi) : [formule] implique [formule], Lemme de Fatou : [formule], [[convergence-dominee|Convergence dominée]] : [formule] p.p., [formule] implique [formule]) — Espaces [formule] (Définition : [formule] quotienté par l'égalité p.p., Inégalités de Hölder et Minkowski : [formule], [formule], [[espace-complet|Complétude]] : théorème de Riesz-Fischer) — Théorème de Fubini-Tonelli (Tonelli pour les fonctions positives : on peut intervertir les intégrales, [[fubini|Fubini]] pour les fonctions intégrables, Application : calcul de [formule]) — Comparaison Riemann-Lebesgue (Toute fonction [[integrale-riemann|Riemann-intégrable]] sur [formule] est [[convergence-dominee|Lebesgue]]-intégrable (et les intégrales coïncident), Avantage de [[convergence-dominee|Lebesgue]] : théorèmes de convergence, espaces [formule], Intégrales impropres et intégrabilité au sens de [[convergence-dominee|Lebesgue]]) — Dualité et applications ([formule] pour [formule], [formule], Application aux EDP et à l'analyse fonctionnelle, Densité dans [formule] : fonctions simples, [formule])