Différentielle de [formule] en un point : application linéaire [formule]. Dérivées partielles et matrice jacobienne. Théorème de Schwarz : symétrie des dérivées partielles croisées. Fonctions de classe [formule] et opérations. [[taylor-lagrange|Formule de Taylor]]-Young à l'ordre 2. Règle de la chaîne (composition d'applications différentiables). Applications : extrema, équations aux dérivées partielles
Différentiabilité (Définition : [formule] avec [formule] linéaire, Unicité de la différentielle, Lien avec les dérivées partielles : [formule]) — Dérivées partielles et classe [formule] (Existence des dérivées partielles n'implique pas la différentiabilité, Si les dérivées partielles existent et sont continues, alors [formule] est différentiable ([formule]), Jacobienne : matrice de la différentielle dans les bases canoniques) — Opérations et règle de la chaîne (Différentielle d'une somme, d'un produit, Règle de la chaîne : [formule], Différentielle de [formule] si [formule] est un difféomorphisme) — Dérivées d'ordre supérieur et Schwarz (Dérivées partielles d'ordre [formule] et classe [formule], Théorème de Schwarz : [formule] si [formule], Hessienne et forme quadratique associée) — Formules de Taylor (Taylor-Young à l'ordre 1 : [formule], Taylor-Young à l'ordre 2 : rôle de la hessienne, Inégalité des [[accroissements-finis|accroissements finis]]) — Applications (Extrema locaux : condition nécessaire ([formule]) et condition suffisante (hessienne), Gradient et direction de plus grande pente, Application aux EDP : laplacien, fonctions harmoniques)