Différentielle d'une application de [formule] dans [formule]. Théorème d'inversion locale : énoncé précis et preuve. Difféomorphisme local et conditions suffisantes. Théorème des fonctions implicites : énoncé et lien avec l'inversion locale. Sous-variétés de [formule] définies implicitement. Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange. Applications géométriques
Rappels de calcul différentiel (Différentielle, matrice jacobienne, Classe [formule] et régularité, Difféomorphismes) — Théorème d'inversion locale (Énoncé : si [formule] est [formule] et [formule] est inversible, alors [formule] est un [formule]difféomorphisme local en [formule], Idée de preuve par le [[point-fixe-banach|point fixe de Banach]], Version [formule] : si [formule] est [formule] alors le difféomorphisme local est [formule]) — Théorème des fonctions implicites (Énoncé : si [formule] et [formule] inversible, il existe [formule] de classe [formule] telle que [formule], Démonstration à partir du théorème d'inversion locale, Calcul de la différentielle de la fonction implicite) — Sous-variétés (Sous-variétés de [formule] définies comme [formule], Espace tangent, Exemples : sphère [formule], tore, etc.) — Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange (Condition nécessaire : [formule], Justification par le théorème des fonctions implicites, Conditions suffisantes (hessienne bordée)) — Applications (Équation [formule] et courbes implicites dans le plan, Changements de coordonnées (polaires, sphériques), Application au [[thm-rang|théorème du rang]] constant)