[[produit-scalaire|Produit scalaire]] et [[cauchy-schwarz|inégalité de Cauchy-Schwarz]]. Théorème de projection sur un convexe fermé. Supplémentaire [[orthogonalite|orthogonal]] d'un sous-espace fermé. Bases hilbertiennes : existence et caractérisation. Égalité de Parseval et inégalité de Bessel. Théorème de représentation de Riesz. Séries de Fourier comme exemple fondamental
Espaces préhilbertiens et espaces de Hilbert ([[produit-scalaire|Produit scalaire]], norme associée, [[cauchy-schwarz|inégalité de Cauchy-Schwarz]], Identité du parallélogramme : caractérisation des normes hilbertiennes, [[produit-scalaire|Espace de Hilbert]] = [[produit-scalaire|espace préhilbertien]] complet) — Projection orthogonale (Théorème de projection sur un convexe fermé, Projection sur un [[sous-espace-vectoriel|sous-espace vectoriel]] fermé, Décomposition [formule] pour [formule] fermé) — Bases hilbertiennes (Système orthonormal, système orthonormal total, Existence de bases hilbertiennes (Zorn ou [[gram-schmidt|Gram-Schmidt]]), Caractérisation : [formule] est une [[base|base]] hilbertienne ssi [formule]) — Parseval et Bessel (Inégalité de Bessel : [formule], Égalité de Parseval : [formule] ssi [formule] est totale, Décomposition [formule]) — Théorème de représentation de Riesz (Toute forme linéaire continue sur [formule] est de la forme [formule], Isomorphisme antilinéaire [formule], Application : théorème de Lax-Milgram (mention)) — Applications et exemples ([formule] et la [[base|base]] [formule], Calcul de [formule] par Parseval, Approximation au sens des moindres carrés)