Norme et distance associée, boules ouvertes et fermées. Norme d'opérateur et espace [formule]. Équivalence des normes en dimension finie. [[fonction-continue|Continuité]] et linéarité : équivalence avec la bornitude sur la boule unité. Dual topologique [formule]. Théorèmes de [[espace-complet|Banach]]-Steinhaus, de l'application ouverte, du graphe fermé. Norme subordonnée pour les matrices
Espaces vectoriels normés : définitions et exemples (Norme, semi-norme, espace normé, Exemples : [formule] avec les normes [formule], [formule], [formule], Espaces [formule], [formule], [formule]) — Dimension finie (Toutes les normes sont équivalentes en dimension finie, Conséquences topologiques : [[compact|compacité]] de la boule unité fermée, Tout sous-espace de dimension finie est fermé) — Applications linéaires continues (Caractérisation : linéaire et continue ssi linéaire et bornée sur la boule unité, Norme d'opérateur : [formule], [formule] est un espace normé, [[espace-complet|Banach]] si [formule] est [[espace-complet|Banach]]) — Dual topologique (Formes linéaires continues et noyau fermé, [formule] est toujours un espace de [[espace-complet|Banach]], Exemples : dual de [formule], dual de [formule]) — Grands théorèmes de l'analyse fonctionnelle ([[espace-complet|Banach]]-Steinhaus (uniforme bornitude), Théorème de l'application ouverte ([[espace-complet|Banach]]-Schauder), Théorème du graphe fermé) — Applications (Norme subordonnée de matrices et rayon spectral, [[fonction-continue|Continuité]] d'opérateurs intégraux, Convergence d'opérateurs et séries de Neumann)