[[suite-cauchy|Suite de Cauchy]] et définition de la [[espace-complet|complétude]]. [[point-fixe-banach|Théorème du point fixe de Banach]]-[[point-fixe-banach|Picard]]. Théorème de Baire et conséquences. Exemples : [formule], [formule], [formule], [formule] complets. Complété d'un espace métrique. Séries absolument convergentes dans un [[espace-complet|Banach]]. Applications aux équations intégrales et aux EDO
Définitions et premières propriétés ([[suite-cauchy|Suite de Cauchy]] dans un espace métrique, [[espace-complet|Espace complet]] (de [[espace-complet|Banach]] si normé, de Hilbert si préhilbertien), [[suite-cauchy|Critère de Cauchy]] : caractérisation de la [[espace-complet|complétude]]) — Exemples fondamentaux ([formule] est complet (axiome de la borne supérieure), [formule] muni de [formule] est un espace de [[espace-complet|Banach]], Espaces [formule] et [formule] : théorème de Riesz-Fischer, Sous-espace fermé d'un complet est complet) — Théorème du point fixe de Banach (Énoncé : toute contraction d'un espace métrique complet a un unique point fixe, Démonstration constructive par itération, Vitesse de convergence géométrique) — Applications du point fixe (Théorème de Cauchy-[[lipschitz|Lipschitz]] (existence et unicité pour les EDO), Équations intégrales de Fredholm et Volterra, Théorème d'inversion locale (idée de preuve)) — Théorème de Baire (Énoncé : intersection dénombrable d'ouverts denses est dense, Application : existence de fonctions continues nulle part dérivables, Théorème de [[espace-complet|Banach]]-Steinhaus (principe d'uniforme bornitude)) — Complétion et séries (Théorème de complétion d'un espace métrique, Caractérisation : un evn est complet ssi toute [[serie-absolument-convergente|série absolument convergente]] converge, Application : [formule] comme complété de [formule])