Définitions équivalentes en espace métrique : recouvrement, séquentiel, [[bolzano-weierstrass|BW]]. Compacts de [formule] : théorème de Heine-Borel (fermé borné). Image continue d'un [[compact|compact]] est compacte. [[thm-bornes-atteintes|Théorème des bornes atteintes]]. [[ascoli|Théorème d'Ascoli]] : caractérisation des compacts de [formule]. [[compact|Compacité]] et [[continuite-uniforme|continuité uniforme]]. Applications en analyse fonctionnelle et optimisation
Définitions et caractérisations de la compacité ([[compact|Compacité]] par recouvrement ouvert, [[compact|Compacité]] séquentielle en espace métrique, Précompacité et [[espace-complet|complétude]], Théorème de Heine-Borel dans [formule]) — Propriétés fondamentales des compacts (Image continue d'un [[compact|compact]] est compacte, Toute [[fonction-continue|fonction continue]] sur un [[compact|compact]] est bornée et atteint ses bornes, Toute [[fonction-continue|fonction continue]] sur un [[compact|compact]] est [[continuite-uniforme|uniformément continue]] (Heine)) — Compacité en dimension finie (Boule unité fermée compacte en dimension finie, Équivalence des normes en dimension finie (via [[compact|compacité]] de la sphère), Théorème de Riesz : la boule unité est compacte ssi dimension finie) — Compacité dans les espaces de fonctions ([[ascoli|Théorème d'Ascoli]]-Arzelà, Application au théorème de Peano (existence pour les EDO), Compacts de [formule] : théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov) — Compacité et topologie ([[compact|Compact]] dans un séparé est fermé, Tout [[compact|compact]] métrique est séparable, Produit de compacts est [[compact|compact]] (Tychonoff)) — Applications (Optimisation : existence de minimums sur les compacts, Point fixe de Brouwer (énoncé), Extraction de sous-suites convergentes en analyse)