Définition axiomatique d'un espace affine et d'un sous-espace affine comme translaté d'un [[sous-espace-vectoriel|sous-espace vectoriel]]. Barycentres : définition, associativité, existence et unicité ; enveloppe barycentrique. Parallélisme de sous-espaces affines : même direction ou directions incluses ; lien avec l'intersection. Formule de dimension pour l'intersection de deux sous-espaces affines (quand elle est non vide). Applications affines : définition, partie linéaire, le [[groupe|groupe]] affine [formule]. Repères affines : [formule] points affinement [[independance|indépendants]] déterminent un repère de l'espace affine de dimension [formule]. Théorèmes classiques de géométrie affine : Thalès, Ménélaüs, Céva
Espaces affines et sous-espaces affines (Définition d'un espace affine : ensemble [formule] muni d'une action libre et transitive de [formule]. Notation [formule], Sous-espace affine : [formule] où [formule] et [formule] [[sous-espace-vectoriel|sous-espace vectoriel]] de [formule]. [formule] est la direction, [formule], Points, droites, plans, hyperplans affines. Un hyperplan affine est le translaté d'un hyperplan vectoriel, Caractérisation : [formule] est un sous-espace affine ssi il est stable par barycentres, [[independance|Indépendance]] affine : [formule] sont affinement [[independance|indépendants]] ssi [formule] est libre) — Barycentres et combinaisons affines (Barycentre de [formule] avec [formule] : point [formule] tel que [formule], [[independance|Indépendance]] du choix de l'origine [formule] (grâce à [formule]), Associativité des barycentres : regroupement par paquets, Sous-espace affine engendré par [formule] : enveloppe barycentrique = [formule], Repère affine de [formule] : [formule] avec [formule] points affinement [[independance|indépendants]]. Coordonnées barycentriques) — Parallélisme et intersection (Parallélisme : [formule] ssi [formule] ou [formule] (directions incluses), Deux sous-espaces de même direction sont parallèles (au sens fort) : [formule] ou [formule], Condition d'intersection non vide : [formule] ssi [formule], Formule de dimension : si [formule], [formule], Cas de l'espace [formule] : positions relatives de deux droites (sécantes, parallèles, non coplanaires)) — Applications affines (Définition : [formule] est affine si [formule] définie par [formule] est linéaire, Caractérisation par conservation des barycentres : [formule] est affine ssi elle conserve les barycentres, Composition d'applications affines : la partie linéaire de [formule] est [formule], Bijection affine : [formule] bijective ssi [formule] est un isomorphisme. Le [[groupe|groupe]] affine [formule], Toute application affine est entièrement déterminée par l'image d'un repère affine [formule], Translations : [formule], partie linéaire = [formule]. Homothéties : [formule]) — Théorèmes classiques de géométrie affine (Théorème de Thalès : soient deux droites [formule] et [formule] sécantes en [formule], coupées par deux parallèles [formule] et [formule]. Si [formule] coupe [formule] en [formule] et [formule] en [formule], et [formule] coupe [formule] en [formule] et [formule] en [formule], alors [formule], Théorème de Ménélaüs : si [formule] sont sur les côtés (ou prolongements) [formule] d'un triangle, alors [formule] alignés ssi [formule], Théorème de Céva : les céviennes [formule] sont concourantes ssi [formule], Application : concours des médianes, des hauteurs (via le [[produit-scalaire|produit scalaire]]), existence du centre de gravité) — Applications et compléments (Ensemble des solutions d'un système linéaire [formule] : vide si le système est incompatible, sinon [formule] (sous-espace affine de direction [formule]), Enveloppe convexe : plus petit convexe contenant un ensemble de points = ensemble des barycentres à coefficients positifs, Simplexes : l'enveloppe convexe de [formule] points affinement [[independance|indépendants]] dans [formule], Projections affines et décomposition [formule] (somme directe affine))