Leçon 102 — Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

Points clés

Structure de 𝕌. Racines n-ièmes de l'unité. Polynômes cyclotomiques. Sous-groupes finis de 𝕌. Applications géométriques

Plan

Le groupe [formule] des complexes de module [formule] (Définition : [formule], [[groupe|groupe]] multiplicatif, Topologie de [formule] : [[compact|compact]] [[connexe|connexe]], homéomorphe au cercle [formule], L'exponentielle [formule] : morphisme surjectif de [formule] sur [formule] de noyau [formule]) — Racines n-ièmes de l'unité (Le [[groupe|groupe]] [formule] : [[groupe|groupe]] cyclique d'ordre [formule], Racines primitives : [formule] avec [formule], Nombre de racines primitives : [formule] (indicatrice d'Euler)) — Polynômes cyclotomiques (Définition : [formule], Propriété : [formule], Irréductibilité de [formule] sur [formule] (et donc sur [formule])) — Sous-groupes de [formule] (Tout sous-[[groupe|groupe]] fini de [formule] est cyclique (de la forme [formule]), Les sous-groupes fermés de [formule] sont [formule] ou les [formule], Les sous-groupes denses : [formule] est dense si [formule]) — Sommes de racines de l'unité et sommes de Gauss (Somme des racines n-ièmes : [formule], Sommes de Gauss : [formule], Application : [formule] pour un caractère non trivial) — Applications (Construction des polygones réguliers à la règle et au compas (théorème de Gauss-Wantzel), Filtres de Fourier discret (DFT) et racines de l'unité, Résolution de [formule] dans [formule])